P2B-F, CMOS - запустить/сбросить (не ламер)?

Да это они. Лучше выпаять, и поставить новые, причем не 1000х6,3, а
1500х6,3. Есть такие, диаметр тот же но выше.
Проверить на высыхание, как я понимаю, можно только проверкой емкости. Проще поменять, т.к. любая проверка конденсаторов возможна только после того, как они выпаяны.

А может микросхему стабилизатора питания процессора также следует заменить на другую, держащую больший ток, или на нее хотя-бы радиатор какой наклеить?

Как таковой микросхемы стабилизатора там нет. БП процессора - это Широтно-Импульсный Модулятор (ШИМ) и два полевых транзистора, ну и обвязка из всяких безкорпусников, дросселей и электролитов.
Если у Вас на мат. плате греется ШИМ, то скорее всего он
умирает и его надо менять на подобный. ШИМ это не силовой, а управляющий элемент, большую токовую нагрузку он не несет. Силовой ток идет через полевые транзисторы.

Более подробно обо всем этом, равно как и диагностике БП процессора Вы можете узнать в прикрепленных темах ветки "Ремонт мат. плат"

Наверное ШИМ не умер совсем, раз P-II работает таки.
Как я понял, ШИМ на P2B-F - это м/схема ниже 20-пин разъема питания (примерно посредине Slot1 и слева от него), а полевые тр-ры (какая их марка - можно узнать, на будущее?) - это два квадратика, располож. еще ниже. Они наверное должны грется, и на них радиаторы (на тр-рах) по-видимому, не будут лишними?